狄拉克delta函数

$\delta (x-x_0)$ 的定义为：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0)$$

同理可得：

$$f(x)\delta (x-x_0)=f(x_0)\delta (x-x_0)$$

若 $\varphi (x)$ 为连续函数，$\varphi (x)=0$ 只有单根 $x_k(k=1,2...N)$ 则有：

$$\delta[\varphi (x)]=\sum_{k=1}^{N}\frac{\delta (x-x_k)}{|\varphi ^{'}(x_k)|}$$

可得：

$$\delta (ax)=\frac{1}{|a|}\delta (x)$$

$$\delta (-x)=\delta(x)$$

含 $\delta $ 函数的导数的积分公式：

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta ^{(n)}(x-x_0)dx = (-1)^n f^{(n)}(x_0)$$

$\delta $ 函数的常用傅里叶积分：

$$\delta (x-x^{'})=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{ik(x-x^{'})}dk=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ip(x-x^{'})/ \hbar}dp$$

$$\delta ^3 (x-x^{'})=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{ik(x-x^{'})}d^3 k=\frac{1}{(2\pi \hbar)^3}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ip(x-x^{'})/ \hbar}dp$$

$$\delta (p-p^{'})=\frac{1}{2\pi \hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{ix(p-p^{'})/ \hbar}dx$$

还有一些性质或者表达式懒得写了，比如极限的表达式或者拉普拉斯算符的表达式，有用到的以后再补吧

寒假也到了，感觉可能又会摸一假期的鱼，不过博客的主题大概率还是会换一个的，现在的兴许有点太简约了